Notre Solution
SYNCHRONISER LES FEUX DES VILLES DANS LE BUT DE FLUIDIFIER LA CIRCULATION ET DE RÉDUIRE LA POLLUTION!
La synchronisation des feux serait donc une excellente idée de solution car elle pourrait réduire à la fois la pollution sonore et les taux d’émission de gaz polluants avec toutes ces conséquences incluses. Nous allons voir ci-dessous une modélisation mathématique de la synchronisation des feux rouges. Nous avons en effet choisi le quartier au coeur de Barcelone, l'Eixample, parfaitement quadrillé, pour représenter cette modélisation.
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Faisons un changement en pensant au futur!
Le développement mathématique
Nous posons f la durée du feu vert qui est égale à la durée du feu rouge.
Nous posons T le temps qu’une voiture met à parcourir la distance entre deux feux. (le temps peut se calculer en fonction de la vitesse imposée)
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Nous notons les Hi,j et Vi,j les instants où les feux horizontal/vertical de coordonnées i,j sur le schéma ci-contre se mettent au vert.
Lorsque nous allons en ligne droite, on rajoute un “T” (temps de distance entre deux feux) indéfiniment, ce qui nous donne une suite arithmétique de raison T et de 1er terme Uo=0
Nous avons donc Un+1= Un+T
L'explication du "modulo".
Nous avons remarqué une alternance régulière et infinie du feu tous les 2f.Nous avons donc décidé d'utiliser la notation du modulo. Mais, qu'est-ce que le modulo?
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La notation du modulo peut s'écrire de différentes façons, nou avons choisi de l'écrire (mod x).
Ainsi si on a par exemple 7 = 3 (mod 5), cela veut dire que dans le “monde” du modulo 5; 7 va être égal à 3, mais comment cela est-ce possible?
Prenons un exemple simple: Une horloge:
En effet une horloge est l’exemple le plus simple à comprendre. Une horloge à un modulo 12 et on peut donc dire: 14 = 2 (mod 12), car dans une horloge, lorsque celle ci indique 14 heures, elle pointe le nombre 2.
Le modulo indique donc quelque chose de cyclique et infini: Toutes les 12 heures, il sera soit 14h, soit 2h du matin.
Donc par logique:
a = b(mod k)
↔ a-b = (mod k)
↔ a-b doit être un multiple de k.
A la recherche d'une contrainte
Nous avons tout d’abord cherché une CONTRAINTE:
-Nous avons au début établi que nos feux s’alterneraient tous les 2f (deux fois la durée du feu), ce qui nous a donc donné naissance à notre modulo: (mod 2f)
- Nous avons ensuite décidé de prendre deux chemins différents pour arriver au même endroit, ce qui devait donc finir par nous donner un calcul et donc une contrainte.
Nous avons décidé de prendre deux chemins différents arrivant tous deux à
H 1;0
On a donc:
H0,0 = 0 (2f)
H0,1 = T (2f)
H0,2 = 2T (2f)
V0,2 = 2T + f (2f)
(En effet, la voiture doit attendre au feu rouge, soit “f”.)
V1,2 = 3T + f (2f)
H1,2 = 3T + 2f (2f) ↔ H1,2 = 3T (2f)
H1,1 = 4T (2f)
H1,0 = 5T (2f)
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Nous calculons en prenant le deuxième chemin:
H0,0 = 0 (2f)
H1,0 = T (2f)
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Conclusion
Le feu H1;0 doit donc se mettre au vert à 5T (2f) mais aussi a T (2f), nous avons donc notre première contrainte:
5T (2f) = T (2f)
↔ 4T = 0 (2f)
Cela veut donc dire qu’il existe un nombre “n” tel que:
4T = n (2f)
↔ 2T = nf
“f” étant la durée du feu, “n” doit être un multiple de “f”.
Nous voudrions appliquer cette formule à la ville de Barcelone où la distance entre feu et feu est d’exactement 133,3 mètres. Sachant que la vitesse est limitée à 30km/h, nous considérons que la voiture roule à cette vitesse.
Nous avons donc 133,3 mètres ↔0,1333 km.
Nous voulons savoir combien tardera la voiture d’aller de feu en feu en secondes. Nous appliquons donc le calcul suivant:
(0,1333/30) 3600 = 16 secondes
Nous finissons avec 2T = nf
↔ 2x16 = nf
↔ 32 = nf
↔ f = 32/n
La durée du feu doit être un diviseur de 32, soit 1, 2, 4, 8, 16, 32 secondes.
Schéma modélisant la position des feux.
